题目内容

已知:如图所示,△ABC是等边三角形,D是AC中点,延长BC至E,使CE=CD,连接DE,
①试判断△DBE是什么三角形?并证明你的结论.
②若BC=2.2,求S△ABD(结果保留三个有效数字.提示:BD=
3
2
AB,
3
=1.732)
分析:(1)根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠DCB=60°,根据等腰三角形的三线合一由D是AC中点得到BD平分∠ABC,则∠DBC=
1
2
∠ABC=30°,由CE=CD得到∠CDE=∠E,而∠DCB=∠CDE+∠E=60°,计算得∠E=30°,于是∠DBE=∠E,根据等腰三角形的判定方法即可得到△DBE是等腰三角形;
(2)根据等边三角形的性质得到BD⊥AC,AB=AC=BC,再根据提示有BD=
3
2
AB,则BD=
3
2
BC=2.2×
3
2
=1.1×
3
,AD=1.1,然后根据三角形面积公式计算即可.
解答:解:(1)△DBE是等腰三角形.理由如下:
∵△ABC是等边三角形,D是AC中点,
∴∠ABC=∠DCB=60°,BD平分∠ABC,
∴∠DBC=
1
2
∠ABC=30°,
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E,
而∠DCB=∠CDE+∠E=60°,
∴∠E=30°,
∴∠DBE=∠E,
∴△DBE是等腰三角形;
(2)∵△ABC是等边三角形,D是AC中点,
∴BD⊥AC,AB=AC=BC,
而BD=
3
2
AB,
∴BD=
3
2
BC=2.2×
3
2
=1.1×
3
,AD=1.1,
∴SABD=
1
2
×BD×AD=
1
2
×1.1×
3
×1.1≈8.68.
点评:本题考查了等边三角形的性质:等边三角形的三边都相等,三个角都等于60°.也考查了等腰三角形的判定与性质.
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