题目内容
【题目】问题提出
（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝ °．
类比探究
（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸
（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．
【答案】（1）60；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，进而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可证明
≌
，继而得出结论；
（2）也可以通过证明≌，得出结论，和（1）的思路完全一样；
（3）当∠ABC＝∠AMN时，
∽
，利用相似的性质得到
，又根据∠BAM＝∠CAN，证得∽，即可得到答案．
（1）证明：∵、是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在和中，
，
∴≌（SAS），
∴∠ABC=∠ACN；
∵是等边三角形
∴∠ABC=60°
∴∠ACN=∠ABC=60°．
（2）结论∠ACN＝60°仍成立．
理由如下：∵、都是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴≌，
∴∠ACN＝∠ABM＝60°．
（3）添加条件：∠ABC＝∠AMN．
理由如下：
∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，
∴∠BAC＝∠MAN，
∴∽，
∴．
又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴∽，
∴∠ABC＝∠ACN．
