Question

如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F。
（1）试说明四边形AECF是平行四边形。
（2）若EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形。
（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形。

Answer 1

证明：
（1）在□ABCD中
AD∥BC
∴∠EAC =∠ACF  ∠AEF =∠CFE
∵O是AC的中点
∴OA=OC
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF
又∵OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形
（2）由（1）可知四边形AECF是平行四边形
∵ EF⊥AC
∴ 四边形AECF是菱形
（3）当EF = AC时，四边形AECF是矩形。
理由：由（1）可知四边形AECF是平行四边形
∵EF = AC
∴ 四边形AECF是矩形  

（1）根据平行四边形及O是AC的中点，推出△AOE≌△COF，即得OE=OF；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形推出即可；
（3）根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．