题目内容
从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．甲题：若关于x的一元二次方程x2-2（2-k）x+k2+12=0有实数根α、β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设t=
| α+β | k |
乙题：如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
分析：甲题（1）根据一元二次方程的根的判别式求出即可；
（2）根据根与系数的关系和k的范围求出即可；
乙题，先证OE=OC=OF，得出平行四边形AECF，证∠ECF=90°，根据矩形的判定推出即可．
（2）根据根与系数的关系和k的范围求出即可；
乙题，先证OE=OC=OF，得出平行四边形AECF，证∠ECF=90°，根据矩形的判定推出即可．
解答：甲题：解：（1）∵一元二次方程x2-2（2-k）x+k2+12=0有实数根α、β
∴△≥0，即4（2-k）2-4（k2+12）≥0，
解得k≤-2；
（2）由根与系数的关系得：α+β=-[-2（2-k）]=4-2k，
t=
=
=
-2，
∵k≤-2，
∴-4≤t＜0，
答：t的最小值为-4；
乙题：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
证明：
∵MN∥BC，
∴∠2=∠3，
∵CF平分∠ACQ，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC=OF，
同理OE=OC，
∴OE=OF，
∵AO=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCA，∠1=∠2=
∠ACQ，
∴∠BCE=∠ECA=
∠BCA，
∴∠ECF=
（∠BCA+∠ACQ）=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
∴△≥0，即4（2-k）2-4（k2+12）≥0，
解得k≤-2；
（2）由根与系数的关系得：α+β=-[-2（2-k）]=4-2k，
t=
| α+β |
| k |
| 4-2k |
| k |
| 4 |
| k |
∵k≤-2，
∴-4≤t＜0，
答：t的最小值为-4；
乙题：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
证明：
∵MN∥BC，
∴∠2=∠3，
∵CF平分∠ACQ，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC=OF，
同理OE=OC，
∴OE=OF，
∵AO=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCA，∠1=∠2=
| 1 |
| 2 |
∴∠BCE=∠ECA=
| 1 |
| 2 |
∴∠ECF=
| 1 |
| 2 |
∴平行四边形AECF是矩形．
点评：本题考查了平行线性质，根的判别式，根与系数的关系，平行四边形的判定和矩形的判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
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