题目内容
本题为选做题,从甲、乙两题中选做一题即可,如果两题都做,只以甲题计分.选做题:甲:已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m-2=0
(1)求证:不论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根x1、x2满足
1 |
x1 |
1 |
x2 |
1 |
m+2 |
乙:如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且AB=AD=AO.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且△BEF的面积为8,cos∠BFA=
2 |
3 |
分析:甲题:(1)先计算出△=9,然后根据△的意义即可得到结论;(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+1,x1•x2=m2+m-2=0,然后变形已知条件
+
=
=
,再把x1+x2=2m+1,x1•x2=m2+m-2=0整体代入得到关于m的方程,解方程即可(要检验).
乙题:易证得△ACF∽△BEF,根据相似三角形的性质得到S△BEF:S△ACF=BF2:AF2,由AC是⊙O的直径得到∠ABC=90°,再根据三角函数的定义得到cos∠BFA=
=
,由△BEF的面积为8即可求出△ACF的面积.
1 |
x1 |
1 |
x2 |
x1+x2 |
x1•x2 |
m+3 |
m+2 |
乙题:易证得△ACF∽△BEF,根据相似三角形的性质得到S△BEF:S△ACF=BF2:AF2,由AC是⊙O的直径得到∠ABC=90°,再根据三角函数的定义得到cos∠BFA=
BF |
AF |
2 |
3 |
解答:甲题
(1)证明:∵△=(2m+1)2-4(m2+m-2)=9,
∴△>0,
∴不论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)∵x1+x2=2m+1,x1•x2=m2+m-2,
∴
+
=
=
,
∴
=
,
∴m2=4,解得m=2或m=-2,
又∵m+2≠0,
∴m=2.
乙题:
(1)证明:连接BO,如图,
∵AB=AD=AO,
∴△ODB是直角三角形
∴∠OBD=90°,即BD⊥BO,
∴BD是⊙O的切线;
(2)解:∵∠C=∠E,∠CAF=∠EBF,
∴△ACF∽△BEF,
又∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
在Rt△BFA中,cos∠BFA=
=
,
∴
=(
)2=
,
又∵S△BEF=8
∴S△ACF=18.
(1)证明:∵△=(2m+1)2-4(m2+m-2)=9,
∴△>0,
∴不论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)∵x1+x2=2m+1,x1•x2=m2+m-2,
∴
1 |
x1 |
1 |
x2 |
x1+x2 |
x1•x2 |
m+3 |
m+2 |
∴
2m+1 |
m2+ m-2 |
m+3 |
m+2 |
∴m2=4,解得m=2或m=-2,
又∵m+2≠0,
∴m=2.
乙题:
(1)证明:连接BO,如图,
∵AB=AD=AO,
∴△ODB是直角三角形
∴∠OBD=90°,即BD⊥BO,
∴BD是⊙O的切线;
(2)解:∵∠C=∠E,∠CAF=∠EBF,
∴△ACF∽△BEF,
又∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
在Rt△BFA中,cos∠BFA=
BF |
AF |
2 |
3 |
∴
S△BEF |
S△ACF |
BF |
AF |
4 |
9 |
又∵S△BEF=8
∴S△ACF=18.
点评:甲题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式与根与系数的关系:若△=b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根;如果方程有两个实数根x1、x2,则x1+x2=-
,x1•x2=
.
乙题考查了切线的判定定理:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线.也考查了三角形相似的判定与性质、圆周角定理以及三角函数的定义.
b |
a |
c |
a |
乙题考查了切线的判定定理:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线.也考查了三角形相似的判定与性质、圆周角定理以及三角函数的定义.
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