Question

已知关于x的方程x²-（k+1）x+k=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根．
（2）若等腰△ABC的一腰长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．

Answer 1

解：（1）∵△=[-（k+1）]²-4k=k²+2k+1-4k=（k-1）²≥0，
∴无论k取什么实数值，这个方程总有实根；

（2）∵等腰△ABC的一边长a=4，
∴另两边b、c中必有一个数为4，
把4代入关于x的方程x²-（k+1）x+k=0中得，
∴16-4（k+1）+k=0，
解得：k=4，
所以b+c=k+1=5
∴△ABC的周长=4+5=9．
分析：（1）先把方程化为一般式：x²-（2k+1）x+4k-2=0，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明△≥0；
（2）若a=4为腰，则b，c中必有一个数为4，把4代入关于x的方程x²-（k+1）x+k=0中得到k的值，求出三角形的周长．
点评：此题主要考查了根的判别式，以及一元二次方程的解法，关键是正确确定b，c的值．