Question

【题目】在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形；
③四边形CDFE的面积保持不变；
④△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论有（ ）个．

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解；连接CF．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
在△ADF和△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；
当D、E分别为AC，BC的中点时，四边形CDEF是正方形，②错误；
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF ，
∴四边形CDFE的面积=S△ACF= S△ACB ，
∴四边形CDFE的面积保持不变，③正确；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴当DE最小时，DF也最小，
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF= AC=4，
∴DE= DF=4 ，
当△CDE面积最大时，此时△DEF的面积最小，
∴S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，④正确，
故选：C．

【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°)，还要掌握正方形的判定方法(先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角)的相关知识才是答题的关键．