题目内容
【题目】(本题12分)如图，O是坐标原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D在边OC上，点B（6,5）,且
.
（1）填空：CD的长为_____________；
（2）若点E是BD的中点，将过点E的直线l绕着点E旋转，分别与直线OA、BC相交于点M、N，与直线AB相交于点P，连结AE.
①设点P的纵坐标为t，当△PBE∽△PEA时，求t的值；
②试问：在旋转的过程中，线段MN与BD能否相等？若能，请求出CN的长；若不能，请说明理
【答案】【答案】(1) 
(2) 
（3）
与
能相等，理由见解析.
【解析】（1）根据点B的坐标，可得BC=6.利用tan∠CBD=
，即可解答；
（2）①当△PBE∽△PEA时， 
=
，即PE2=PA×PB. 过E作FG∥BC分别交OC、AB于G、F，得到GE是三角形BCD的中位线，从而得到BF=CG=
CD=1，GE=
BC=3，AF=4，EF=3，由PA=t，PB=t-5，PE=t-4，利用勾股定理得，PE2=PF2+EF2=（t-4）2+32，根据PE2= PA×PB=|t（t-5）|，得到（t-4）2+32=t（t-5），解方程即可解答；
②MN与BD能相等，理由如下：利用在矩形OABC中，∠BCO=90°，CD=2，BC=6，求出BD=
=2
，如图2，过O作OQ∥MN，交BC于点Q,则OQ=MN=BD=2
，CQ=
，从而确定（
，5），求出直线OQ的函数关系式为y=
x，直线MN的函数关系式为y=
x+4-
，令y=5，得
x+4-
=5，
解得：x=
，所以N1（ 
，5）由矩形对称性得：N2（
，5）所以CN=
也符合题意.
解：(1) 
；
(2) ①方法一：当
∽
时， 
，即
.
过
作
分别交
、
于
、
，则
是
的中位线，
∴
，
∴
， 
，
∵
, 
, 
,
由勾股定理得， 
,
∴
.
由
解得
，
由
得， 
，此方程没有实数根，
∴
；
方法二：求出
， 
，
当
∽
时， 
，即
，
∴
，整理得， 
.
解得
， 
（不合题意舍去）.∴
；
②方法一： 
与
能相等，理由如下：
在矩形
中， 
， 
， 
，∴
，
过
作
，交
于点
，则
， 
，
∴
，直线
的函数关系式为
.
设直线
的函数关系式为
，把
代入得， 
，
解得
，即直线
的函数关系式为
.
令
，得
，解得
，
∴
.由矩形的对称性得， 
.∴
也符合题意.
故
.
方法二： 
与
能相等，理由如下：
在矩形
中， 
， 
， 
，∴
.
若
，如图，过
作
，
交
于点
，过
作
⊥
于
.
则
， 
，△
∽△
，
又
， 
，
∴
，即
. ∴
.
根据矩形的对称性， 
.
∴
.
“点睛”本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的性质和判定、勾股定理、旋转的性质、待定系数法求解析式，解决本题的关键是辅助线的作法，结合图象用待定系数法求直线的解析式.
