Question

如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）旋转．
（1）如图2的位置，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠MOB=15°，正方形ABCD的面积为4，求三角形OBM的面积．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形与正方形的性质，可以证明△OBM≌△OFN，根据全等三角形的对应边相等即可求证；
（2）与（1）的证明思路相同，证明△OBM≌△OFN；
（3）求出OQ、BQ的长，解直角三角形，求出MQ，分别求出△OQB和△OQM的面积，即可得出答案．

解答：（1）BM=FN，
证明：如图2，∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF，
在△OBM和△OFN中，

∠ABD=∠F BO=OF ∠BOM=∠FON

∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立，
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，
∴∠MBO=∠NFO=135°，
在△OBM和△OFN中，

∠MBO=∠NFO OB=OF ∠MOB=∠NOF

∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN；

（3）解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴∠A=90°，AD=AB=2，DO=OB，∠OBQ=45°，
∴由勾股定理得：BD=

22+22

=2

2

，
∴OB=

2

，
∵∠A=90°，OQ⊥AB，
∴OQ∥AD，
∵DO=BO，
∴AQ=BQ，
∴OQ=

1

2

AD=1，BQ=

1

2

AB=1，
∵∠OBQ=45°，∠BOM=15°，
∴∠QMO=30°，
∴MQ=

OQ

tan30°

=

3

，
∴三角形OBM的面积是S_△OQM-S_△OQB=

1

2

×

3

×1-

1

2

×1×1=

3 -1

2

．

点评：本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形的应用，证明两个三角形全等是解题的关键，在解题的过程中要注意两问的联系．