Question

【题目】请按照研究问题的步骤依次完成任务．

（问题背景）

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”， 请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．

（简单应用）

（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）

（问题探究）

（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为 ；

（拓展延伸）

（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 （用x、y表示∠P） ；

（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠P=23；（3）∠P=26；（4）∠P=；（5）∠P=．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程组即可得到结论；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题；
（4）根据题意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再结合∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，得到y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），从而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=；

（5）根据题意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再结合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD +∠D=.

解：（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）解：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由（1）的结论得：，

①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，

∴∠P=（∠B+∠D）=23°；
（3）解：如图3，

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），
∠P+∠1=∠B+∠4，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；
故答案为：26°；
（4）由题意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，

即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，

∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，

即y+∠BAP=∠P+∠PDB，

即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），

即y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），

∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB

= y+（∠CAB-∠CDB）

=y+（x-y）

=

故答案为：∠P=；

（5）由题意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，

∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，

∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，

∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，

∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，

∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，

∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD +∠D

=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D

=90°+（∠B-∠D）+∠D

=，

故答案为：∠P=.