Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点(不与点B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如左下图，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；

（2）如下中图，当点D在线段BC上，∠BAC=90°，直接写出∠BCE的度数；

（3）如右下图，若∠BCE=α，∠BAC=β．点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）90°；（3）α= β，理由见详解

【解析】

(1)利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE,即可得出结论;

(2)先求出∠ABC=∠ACB=45°,借助(1)的结论，即可得出结论;

(3)同(1)的方法得出△ABD≌△ACE,判断出∠ACE=∠ACB+α，再用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得出∠ACB=90°-β，即可得出结论.

解：(1)∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC - ∠DAC=∠DAE - ∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE(SAS) ；

(2)∵AB= AC，∠BAC= 90° ，

∴∠ABC=∠ACB = 45°，

由(1)知，△ABD≌△ACE，

∴∠ACE=∠ABC= 45°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE= 90°；

(3)同(1)的方法得，△ABD≌△ACE(SAS) ，

∴∠ACE=∠ABD，∠BCE=α，

∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α，

在△ABC中，

∵AB= AC，∠BAC=β，

∴∠ACB=∠ABC =（180°-β）= 90°- β，

∴∠ABD= 180° - ∠ABC= 90°+β，

∴∠ACE=∠ACB +α= 90°- β+α，

∵∠ACE=∠ABD = 90°+β，

∴90°- β+α= 90°+β，

∴α = β.