题目内容
【题目】在△ABC中，CA=CB，在△AED中，DA=DE，点D，E分别在CA，AB上．
（1）如图①，若∠ACB=∠ADE=90°，则CD与BE的数量关系是；
（2）若∠ACB=∠ADE=120°，将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是；，
（3）若∠ACB=∠ADE=2α（0°＜α＜90°），将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）．
【答案】
（1）BE= 
CD
（2）BE= 
CD
（3）解：BE=2CDsinα，
证明：如图③，分别过点C、D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，
∵CA=CB，DA=DE，∠ACB=∠ADE=2α，
∴∠CAB=∠DAE，∠ACM=∠ADN=α，AM= 
AB，AN= AE．
∴∠CAD=∠BAE，
Rt△ACM和Rt△ADN中，
sin∠ACM= 
，sin∠ADN= 
，
∴ 
，
∴ 
，
又∵∠CAD=∠BAE，
∴△BAE∽△CAD，
∴ 
∴BE=2DCsinα．
【解析】
解：（1）如图①，作DM∥AB，交BC于点M，
∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，DA=DE，
∴∠CAB=∠CBA=∠DEA=45°，
∴DE∥BC，
∴四边形EBMD是平行四边形，
∴DM=BE，
∵DM∥AB，
∴∠CDM=45°，
∴DM= CD，
∴BE= CD；
所以答案是：BE= CD；（2）如图②，
∵CA=CB，∠ACB=120°
∴∠CAB=∠CBA=30°，
∴AB= AC，
同理AE= AD，
∴ 
= 
= 
，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，
∴△CAD∽△BAE，
= = 
∴BE= CD；
所以答案是：BE= CD；
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和锐角三角函数的定义的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数才能正确解答此题．
