Question

某公司开发了一种新型的家电产品，又适逢“家电下乡”的优惠政策．现投资40万元用于该产品的广告促销，已知该产品的本地销售量y₁（万台）与本地的广告费用x（万元）之间的函数关系满足，该产品的外地销售量y₂（万台）与外地广告费用t（万元）之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段AB来表示，其中点A为抛物线的顶点．

（1）结合图象，写出y₂（万台）与外地广告费用t（万元）之间的函数关系式；
（2）求该产品的销售总量y（万台）与外地广告费用t（万元）之间的函数关系式；
（3）如何安排广告费用才能使销售总量最大？

Answer 1

（1）当0≤t≤25时，y₂=-0.1（t-25）²+122.5；当25≤t≤40时，y₂=122.5；（2）0≤x≤15时，y=3x+122.5；15≤x≤25时，y=-0.1x²+6x+100；25≤x≤40时，y=-0.1x²+5x+125；（3）外地广告费用为25万元，本地广告费用15万元．

解析试题分析：（1）此函数为分段函数，第一段为抛物线，可设出顶点坐标式，代入（0，60）即可求解；第二段为常函数，直接可以写出．
（2）由于总投资为40万元，本地广告费用为t万元，则外地广告费用为（40-x）万元，分段列出函数关系式．
（3）由（2）求得的函数关系式求得销售总量最大时广告费用的安排情况．
试题解析：（1）由函数图象可知，
当0≤t≤25时，函数图象为抛物线的一部分，
设解析式为y=a（t-25）²+122.5，
把（0，60）代入解析式得，
y₂=-0.1（t-25）²+122.5；
当25≤t≤40时，y₂=122.5；
（2）设本地广告费用为x万元，则
0≤x≤15时，y=3x+122.5；
15≤x≤25时，y=-0.1x²+6x+100；
25≤x≤40时，y=-0.1x²+5x+125．
（3）外地广告费用为25万元，本地广告费用15万元．
考点: 二次函数的应用．