Question

抛物线y=

1

2

x2-2(m+

5

4

)x+2(m+1)与y轴的正半轴交于点C，与x轴交于A、B两点，并且点B在A的右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由．

Answer 1

（1）设A（x₁，0），（x₂，0），△=4（m+

3

4

）²＞0，C（0，2m+2）是y轴正半轴上的点，
则2m+2＞0，即m＞-1，
又x₁+x₂=4（m+

5

4

）＞0，
x₁x₂=4（m+1）＞0，
∴x₂＞x₁＞0，
由S_△ABC=3S_△OAC得S_△OBC=4S_△OAC，
∴x₂=4x₁，
与根与系数的关系联立可得，（

4

5

m+1）²=m+1，
解得，m₁=0，m₂=-

15

16

．
对应的抛物线解析式为y=

1

2

x²-

5

2

x+2，y=

1

2

x²-

5

8

x+

1

8

．

（2）当m=0时，抛物线解析式为y=

1

2

x²-

5

2

x+2，
可得A（1，0），B（4，0），C（0，2）．
故

OA

OC

=

1

2

；

OC

OB

=

2

4

=

1

2

；
故△AOC∽△COB．
当m=-

15

16

时，
可得A（

1

4

，0），B（1，0），C（0，

1

8

）．

OA

OC

=

1 4

1 8

=2；

OC

OB

=

1 8

1

=

1

8

；

OB

OC

=8；
故△AOC与△COB不相似．