题目内容
如图,四边形ABCD是等腰梯形,其中AD∥BC,AD=2,BC=4,AB=CD=5 |

(1)用含t的代数式表示QP的长;
(2)设△CMQ的面积为S,求出S与t的函数关系式;
(3)求出t为何值时,△CMQ为等腰三角形?
分析:(1)过点A作AE⊥BC,交BC于点E,在△ABE中,由等腰梯形性质得BE=1,由勾股定理得AE=2,可推CE=3,ND=x,PC=1+x,由AE∥PQ得比例,表示线段PQ;
(2)由已知可得BM=2t,CM=4-2t,△CMQ的底CM、高PQ都可表示,就可表示面积了;
(3)△CMQ为等腰三角形,有三种可能,即:QM=QC,QC=CM,QM=CM,针对每一种情况,根据图形特征,线段长度,运用勾股定理解答.
(2)由已知可得BM=2t,CM=4-2t,△CMQ的底CM、高PQ都可表示,就可表示面积了;
(3)△CMQ为等腰三角形,有三种可能,即:QM=QC,QC=CM,QM=CM,针对每一种情况,根据图形特征,线段长度,运用勾股定理解答.
解答:
解:(1)过点A作AE⊥BC,交BC于点E,如图,
由AD=2,BC=4,AB=CD=
,得
AE=2.(1分)
∵ND=t,∴PC=1+t.
∴
=
.即
=
.
∴PQ=
.(2分)
(2)∵点M以每秒2个单位长运动,
∴BM=2t,CM=4-2t.(3分)
∴S△CMQ=
CM•PQ=
•(4-2t)•
=-
t2+
t+
.
即S=-
t2+
t+
.(4分)
(3)①若QM=QC,
∵QP⊥MC,
∴MP=CP.而MP=4-(1+t+2t)=3-3t,
即1+t=3-3t,∴t=
.(5分)
②若CQ=CM,
∵CQ2=CP2+PQ2=(1+t)2+(
)2=
(1+t)2,
∴CQ=
(1+t).
∵CM=4-2t,
∴
(1+t)=4-2t.
∴t=
.(6分)
③若MQ=MC,
∵MQ2=MP2+PQ2=(3-3t)2+(
)2=
t2-
t+
,
∴
t2-
t+
=(4-2t)2,即
t2-
t-
=0.
解得t=
或t=-1(舍去).
∴t=
.(7分)
∴当t的值为
,
,
时,
△CMQ为等腰三角形.

由AD=2,BC=4,AB=CD=
5 |
AE=2.(1分)
∵ND=t,∴PC=1+t.
∴
PQ |
AE |
PC |
EC |
PQ |
2 |
1+t |
3 |
∴PQ=
2+2t |
3 |
(2)∵点M以每秒2个单位长运动,
∴BM=2t,CM=4-2t.(3分)
∴S△CMQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
2+2t |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
4 |
3 |
即S=-
2 |
3 |
2 |
3 |
4 |
3 |
(3)①若QM=QC,
∵QP⊥MC,
∴MP=CP.而MP=4-(1+t+2t)=3-3t,
即1+t=3-3t,∴t=
1 |
2 |
②若CQ=CM,
∵CQ2=CP2+PQ2=(1+t)2+(
2+2t |
3 |
13 |
9 |
∴CQ=
| ||
3 |
∵CM=4-2t,
∴
| ||
3 |
∴t=
85-18
| ||
23 |
③若MQ=MC,
∵MQ2=MP2+PQ2=(3-3t)2+(
2+2t |
3 |
85 |
9 |
154 |
9 |
85 |
9 |
∴
85 |
9 |
154 |
9 |
85 |
9 |
49 |
9 |
10 |
9 |
59 |
9 |
解得t=
59 |
49 |
∴t=
59 |
49 |
∴当t的值为
1 |
2 |
85-18
| ||
23 |
59 |
49 |
△CMQ为等腰三角形.
点评:本题考查了等腰梯形、等腰三角形、相似三角形的性质,勾股定理的运用,分类讨论的数学思想,有较强的综合性.

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