题目内容

如图,四边形ABCD是等腰梯形,其中AD∥BC,AD=2,BC=4,AB=CD=
5
.点M从点B开始,以每秒2个单位长的速度向点C运动;点N从点D开始,以每秒1个单位长的速度向点A运动,精英家教网若点M,N同时开始运动,点M与点C不重合,运动时间为t(t>0).过点N作NP垂直于BC,交BC于点P,交AC于点Q,连接MQ.
(1)用含t的代数式表示QP的长;
(2)设△CMQ的面积为S,求出S与t的函数关系式;
(3)求出t为何值时,△CMQ为等腰三角形?
分析:(1)过点A作AE⊥BC,交BC于点E,在△ABE中,由等腰梯形性质得BE=1,由勾股定理得AE=2,可推CE=3,ND=x,PC=1+x,由AE∥PQ得比例,表示线段PQ;
(2)由已知可得BM=2t,CM=4-2t,△CMQ的底CM、高PQ都可表示,就可表示面积了;
(3)△CMQ为等腰三角形,有三种可能,即:QM=QC,QC=CM,QM=CM,针对每一种情况,根据图形特征,线段长度,运用勾股定理解答.
解答:精英家教网解:(1)过点A作AE⊥BC,交BC于点E,如图,
由AD=2,BC=4,AB=CD=
5
,得
AE=2.(1分)
∵ND=t,∴PC=1+t.
PQ
AE
=
PC
EC
.即
PQ
2
=
1+t
3

PQ=
2+2t
3
.(2分)

(2)∵点M以每秒2个单位长运动,
∴BM=2t,CM=4-2t.(3分)
∴S△CMQ=
1
2
CM•PQ=
1
2
•(4-2t)•
2+2t
3
=-
2
3
t2+
2
3
t+
4
3

即S=-
2
3
t2+
2
3
t+
4
3
.(4分)

(3)①若QM=QC,
∵QP⊥MC,
∴MP=CP.而MP=4-(1+t+2t)=3-3t,
即1+t=3-3t,∴t=
1
2
.(5分)
②若CQ=CM,
∵CQ2=CP2+PQ2=(1+t)2+(
2+2t
3
)2=
13
9
(1+t)2

∴CQ=
13
3
(1+t)

∵CM=4-2t,
13
3
(1+t)
=4-2t.
t=
85-18
13
23
.(6分)
③若MQ=MC,
∵MQ2=MP2+PQ2=(3-3t)2+(
2+2t
3
)2=
85
9
t2-
154
9
t+
85
9

85
9
t2-
154
9
t+
85
9
=(4-2t)2,即
49
9
t2-
10
9
t-
59
9
=0

解得t=
59
49
或t=-1(舍去).
∴t=
59
49
.(7分)
∴当t的值为
1
2
85-18
13
23
59
49
时,
△CMQ为等腰三角形.
点评:本题考查了等腰梯形、等腰三角形、相似三角形的性质,勾股定理的运用,分类讨论的数学思想,有较强的综合性.
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