Question

如果抛物线y=-x²+2（m-1）x+m+1与x轴都交于A，B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．
（1）求m的取值范围；
（2）若a：b=3：1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设A，B两点的坐标分别是（x₁，0）、（x₂，0），
∵A，B两点在原点的两侧，
∴x₁x₂＜0，即-（m+1）＜0，
解得m＞-1．
∵△=[2（m-1）]²-4×（-1）×（m+1）
=4m²-4m+8
=4×（m-）²+7
当m＞-1时，△＞0，
∴m的取值范围是m＞-1；

（2）∵a：b=3：1，设a=3k，b=k（k＞0），
则x₁=3k，x₂=-k，
∴，
解得．
∵时，（不合题意，舍去），
∴m=2，
∴抛物线的解析式是y=-x²+2x+3；

（3）易求抛物线y=-x²+2x+3与x轴的两个交点坐标是A（3，0），B（-1，0）
与y轴交点坐标是C（0，3），顶点坐标是M（1，4）．
设直线BM的解析式为y=px+q，
则．
解得．
∴直线BM的解析式是y=2x+2．

设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是（0，2），

∴S_△BCM=S_△BCN+S_△MNC
=×1×1+×1×1
=1
设P点坐标是（x，y），
∵S_△ABP=8S_△BCM，
∴×AB×|y|=8×1．
即×4×|y|=8．
∴|y|=4．
∴y=±4．
当y=4时，P点与M点重合，即P（1，4），
当y=-4时，-4=-x²+2x+3，
解得．
∴满足条件的P点存在．
P点坐标是（1，4），（1+2，-4）（1-2，-4）．
分析：（1）根据两根之积小于0及根的判别式大于0得到m的取值．
（2）利用比值设出点A，B的坐标，利用根与系数的关系求解m，进而求得抛物线解析式．
（3）应先求得△BCM面积，进而求得△BCM面积的8倍．易求得AB的长，设P的纵坐标为y，那么△PAB的面积=×AB×|P_Y|纵坐标的绝对值．
点评：抛物线与x轴有2个交点，根的判别式大于0；注意利用根与系数的两个关系求解；到一条线段为定值的点的纵坐标有2个．