题目内容

已知:抛物线C1:y=x2。如图(1),平移抛物线C1得到抛物线C2,C2经过C1的顶点O和A(2,0),C2的对称轴分别交C1、C2于点B、D。

(1)求抛物线C2的解析式;
(2)探究四边形ODAB的形状并证明你的结论;
(3)如图(2),将抛物线C2向下平移m个单位(m>0)得抛物线C3,C3的顶点为G,与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点,点P()在直线MG上。问:当m为何值时,在抛物线C3上存在点Q,使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?

解:(1)∵抛物线C2经过点O(0,0),∴设抛物线C2的解析式为
∵抛物线C2经过点A(2,0),∴,解得
∴抛物线C2的解析式为
(2)∵,∴抛物线C2的顶点D的坐标为(1,)。
当x=1时, ,∴点B的坐标为(1,1)。
∴根据勾股定理,得OB=AB=OD=AD=。∴四边形ODAB是菱形。
又∵OA=BD=2,∴四边形ODAB是正方形。
(3)∵抛物线C3由抛物线C2向下平移m个单位(m>0)得到,
∴抛物线C3的解析式为
中令x=0,得,∴M
∵点N是M关于x轴的对称点,∴N。∴MN=
当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况:
①若MN是平行四边形的一条边,由MN=PQ=和P()得Q()。
∵点Q 在抛物线C3上,∴,解得(舍去)。
②若MN是平行四边形的一条对角线,由平行四边形的中心对称性,得Q()。
∵点Q 在抛物线C3上,∴,解得(舍去)。
综上所述,当时,在抛物线C3上存在点Q,使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形。

解析试题分析:(1)根据平移的性质,应用待定系数法即可求得抛物线C2的解析式。
(2)求出各点坐标,应用勾股定理求出各边长和对角线长,根据正方形的判定定理可得结论。
(3)分MN为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可。

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