Question

如图，已知△OAB的顶点A（﹣6，0），B（0，2），O是坐标原点，将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．

（1）写出C，D两点的坐标；
（2）求过A，D，C三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标；
（3）证明AB⊥BE．

Answer 1

解：（1）C（2，0），D（0，6）。
（2）顶点E的坐标为（﹣2，8）
（3）证明见解析

解析试题分析：（1）∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC，∴△ODC≌△OAB。
∴OC=OB=2，OD=OA=6。∴C（2，0），D（0，6）。
（2）由于抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），所以设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），再将D（0，6）代入，求出a的值，得出抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点E的坐标。
∵抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），
∵D（0，6）在抛物线上，∴6=﹣12a，解得a=。
∴抛物线的解析式为y=（x+6）（x﹣2），即y=x²﹣2x+6。
∵y=x²﹣2x+6=（x+2）²+8，∴顶点E的坐标为（﹣2，8）。
（3）已知A、B、E三点的坐标，运用勾股定理计算得出AB²=40，BE²=40，AE²=80，则AB²+BE²=AE²，根据勾股定理的逆定理即可证明AB⊥BE。
连接AE，

∵A（﹣6，0），B（0，2），E（﹣2，8），
∴AB²=6²+2²=40，
BE²=（﹣2﹣0）²+（8﹣2）²=40，
AE²=（﹣2+6）²+（8﹣0）²=80。
∴AB²+BE²=AE²。
∴△ABE是直角三角形。
∴AB⊥BE．