Question

【题目】如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”．

（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；

（2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O于点E）；

（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．

Answer 1

【答案】（1）∠DPC是直径AB的回旋角，理由见解析；（2）“回旋角”∠CPD的度数＝的度数，证明见解析；（3）3或23．

【解析】

（1）由∠BPC＝∠DPC＝60°结合平角＝180°，即可求出∠APD＝60°＝∠BPC，进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角；

（2）延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角相等，可得出∠APE＝∠APD，由圆的对称性可得出∠E＝∠D，由等腰三角形的性质可得出∠E＝∠C，进而可得出∠D＝∠C，利用三角形内角和定理可得出∠COD＝∠CPD，即“回旋角”∠CPD的度数＝的度数；

（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC，利用（2）的方法可得出点P，D，F在同一条直线上，由直径AB的“回旋角”为120°，可得出∠APD＝∠BPC＝30°，进而可得出∠CPF＝60°，即△PFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，根据等腰三角形的性质可得出CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，结合圆的直径为26可得出CD＝13，由△PCD的周长为24+13，可得出DF＝24，过点O作OH⊥DF于点H，在Rt△OHD和在Rt△OHD中，通过解直角三角形可得出OH，OP的值，再根据AP＝OA﹣OP可求出AP的值；②当点P在半径OB上时，用①的方法，可得：BP＝3，再根据AP＝AB﹣BP可求出AP的值．综上即可得出结论．

（1）∵∠BPC＝∠DPC＝60°，

∴∠APD＝180°﹣∠BPC﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠APD＝∠BPC，

∴∠DPC是直径AB的回旋角．

（2）“回旋角”∠CPD的度数＝的度数，理由如下：

如图2，延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE．

∵∠CPB＝∠APE，∠APD＝∠CPB，

∴∠APE＝∠APD．

∵圆是轴对称图形，

∴∠E＝∠D．

∵OE＝OC，

∴∠E＝∠C，

∴∠D＝∠C．

由三角形内角和定理，可知：∠COD＝∠CPD，

∴“回旋角”∠CPD的度数＝的度数．

（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC．

同（2）的方法可得：点P，D，F在同一条直线上．

∵直径AB的“回旋角”为120°，

∴∠APD＝∠BPC＝30°，

∴∠CPF＝60°，

∴△PFC是等边三角形，

∴∠CFD＝60°．

连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，

∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，

∵AB=26，

∴OC=13，

∴

∴CD＝2×＝.

∵△PCD的周长为24+，

∴PD+PC+CD＝24+，

∴PD+PC＝DF＝24．

过点O作OH⊥DF于点H，则DH＝FH＝DF＝12．

在Rt△OHD中，OH＝,

在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，

∴OP＝2OH＝10，

∴AP＝OA﹣OP＝13﹣10＝3；

②当点P在半径OB上时，

同①的方法，可得：BP＝3，

∴AP＝AB﹣BP＝26﹣3＝23．

综上所述，AP的长为：3或23．