Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）（2，﹣1）

【解析】

（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0），所以设抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可求得h，得到抛物线的函数表达式．

（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．根据抛物线的对称性质得到PA=PB，则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可．

（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线的顶点坐标，即（2，﹣1）．

解：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2，

∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．

设抛物线的函数表达式为，

将A（1，0）代入得：，解得．

∴抛物线的函数表达式为，即．

（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．

由（1）抛物线解析式为，A（1，0），B（3，0），

∴C（0，3）．

∴,．

∵点A、B关于对称轴x=2对称，∴PA=PB．∴PA+PC=PB+PC．此时，PB+PC=BC．

∴点P在对称轴上运动时，（PA+PB）的最小值等于BC．

∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=．

（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标，即（2，-1），

当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，

故点D的坐标为：（2，-1）．