Question

如图，在△ABC中，AB=AC，E、F分别为AB，AC上的点(E、F不与A重合)，且EF∥BC．将△AEF沿着直线EF向下翻折，得到△A'EF，再展平．

（1）请证明四边形AE A'F为菱形；
（2）当等腰△ABC满足什么条件时，按上述方法操作，四边形AE A'F将变成正方形？（只写结果，不作证明）

Answer 1

（1）见解析；（2）等腰△ABC的顶角为90°

试题分析：（1）由题意易得△AEF为等腰三角形，AE=EA′，AF=FA′，所以四边形AEA′F是菱形；
（2）因为有一角为直角的菱形是正方形，故当等腰△ABC的顶角为90°时，四边形AEA′F是正方形．
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠C=∠B=∠AFE．
∴AE=AF．
∵AE=EA′，AF=FA′，
∴AE=EA′=AF=FA′，
∴四边形AEA′F是菱形．
（2）当等腰△ABC的顶角为90°时，四边形AEA′F是正方形．
点评：解答本题的关键是熟练掌握四条边相等的四边形的菱形，有一个角是直角的菱形是正方形。