题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=______．
设AP=x，PD=4-x，由勾股定理，得AC=BD=
=5，
∵∠PAE=∠CAD，∠AEP=∠ADC=90°，
∴Rt△AEP∽Rt△ADC；
∴
=
，
即
=
---（1）．
同理可得Rt△DFP∽Rt△DAB，
∴
=
---（2）．
故（1）+（2）得
=
，
∴PE+PF=
．
另
∵四边形ABCD为矩形，
∴△OAD为等腰三角形，
∴PE+PF等于△OAD腰OA上的高，即Rt△ADC斜边上的高，
∴PE+PF=
=
．
| 32+42 |
∵∠PAE=∠CAD，∠AEP=∠ADC=90°，
∴Rt△AEP∽Rt△ADC；
∴
| AP |
| AC |
| PE |
| DC |
即
| x |
| 5 |
| PE |
| 3 |
同理可得Rt△DFP∽Rt△DAB，
∴
| 4-x |
| 5 |
| PF |
| 3 |
故（1）+（2）得
| 4 |
| 5 |
| PE+PF |
| 3 |
∴PE+PF=
| 12 |
| 5 |
另
∵四边形ABCD为矩形，
∴△OAD为等腰三角形，
∴PE+PF等于△OAD腰OA上的高，即Rt△ADC斜边上的高，
∴PE+PF=
| 3×4 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
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ADE．
