Question

如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．

（1）求证：PC＝PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．

Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OC，

∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC。∴∠OCG+∠PCG=90°。
∵ED⊥AB，∴∠B+∠BGF=90°。
∵OB=OC，∴∠B=∠OCG。∴∠PCG=∠BGF。
又∵∠BGF=∠PGC，∴∠PGC=∠PCG。
∴PC=PG。
（2）CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG²=BO•BF。理由如下：
如图，连接OG，
∵点G是BC的中点，∴OG⊥BC，BG=CG。∴∠OGB=90°。
∵∠OBG=∠GBF，∴Rt△BOG∽Rt△BGF。∴BG：BF=BO：BG。
∴BG²=BO•BF。∴CG²=BO•BF。
（3）如图，连接OE，
由（2）得BG⊥BC，∴OG=。
在Rt△OBG中，OB=5，∴。
由（2）得BG²=BO•BF，∴。∴OF=1。
在Rt△OEF中，。
∵AB⊥ED，∴EF=DF。
∴DE=2EF=。

试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质得OC⊥PC，则∠OCG+∠PCG=90°，由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°，而∠B=∠OCG，所以∠PCG=∠BGF，根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC，于是∠PGC=∠PCG，所以PC=PG。
（2）连接OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OG⊥BC，BG=CG，易证得Rt△BOG∽Rt△BGF，则BG：BF=BO：BG，即BG2=BO•BF，把BG用CG代换得到CG²=BO•BF。
（3）连接OE，OG=OG=，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG=2，再利用BG2=BO•BF可计算出BF，从而得到OF=1，在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出EF=2，由于AB⊥ED，根据垂径定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4。