题目内容
【题目】如图，平面直角坐标系中，已知点A(0，5)，点P(m，5)在第二象限，连接AP、OP
(1) 如图1，若OP＝6，求m的值
(2) 如图2，点C在x轴负半轴上，以CP为斜边作直角三角形BCP，∠CBP＝90°，且∠BPC＝∠APO．取OC的中点D，连接AD、BD，求证：AD＝BD
(3) 如图3，将△AOP沿直线OP翻折得到△EOP（点A的对应点为点E）．若点E到x轴的距离不大于3，直接写出m的取值范围（无需解答过程）
【答案】（1）-
（2）证明见解析（3）-10≤m≤-
【解析】
（1）根据勾股定理计算PA的长，可得m的值；
（2）如图2，作辅助线，构建平行四边形PMDN，得PM=DN，DM=PN，∠PMD=∠PND，又M、N分别为Rt△PBC、Rt△PAO斜边的中点，可得BM=MP，AN=PN，证明△DNA≌△BMD，得AD=BD；
（3）由条件可知点E的纵坐标大于或等于-3小于或等于3，分别计算点E的纵坐标为3和-3时m的值可得m的取值范围．
（1）由点A（0，5），点P（m，5）可知PA⊥y轴，
∵OP=6，OA=5，
由勾股定理可求PA=
，
∴m=-；
（2）如图2，取CP、OP中点M、N，连接DM、DN、BM、AN，
∵D、M、N分别为OC、PC、PO的中点，
∴DM∥PO，DN∥PC，
∴四边形PMDN是平行四边形，
∴PM=DN，DM=PN，∠PMD=∠PND，
又M、N分别为Rt△PBC、Rt△PAO斜边的中点，
∴BM=MP，AN=PN，
∵∠BPC=∠APO
∴∠BMP=∠ANP，
∴∠BMP+∠PMD=∠ANP+∠PND，
∴∠DNA=∠BMD，
∴△DNA≌△BMD，
∴AD=BD；
（3）由条件可知点E的纵坐标大于或等于-3小于或等于3，
①当点E的纵坐标为3时，如图4，过点E作ES⊥x轴于S，交直线AP于R，
在Rt△OES中，OE=OA=5，ES=3，可求OS=AR=4，RE=2，
∵PA=PE=-m，PR=4+m，
在Rt△PRE中，由22+（4+m）2=（-m）2，
解得：m=
；
②当点E的纵坐标为-3时，如图5，过点E作ES⊥x轴于S，交直线AP于R，
在Rt△OES中，OE=OA=5，ES=3，
∴OS=AR=4，
∴PR=10-4=6，
由勾股定理得：RE=
=8，
∵PA=PE=-m，PR=-4-m，
在Rt△△PRE中，由82+（4+m）2=（-m）2，
解得：m=-10，
综上所述，当-10≤m≤时，点E到x轴的距离不大于3.
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