题目内容
【题目】如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B、C分别在边AD、AF上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点H.
①求证:BD⊥CF;
②当AB=2,AD=3 时,求线段DH的长.
【答案】
(1)
解:①由(1)得△CAF≌△BAD,
∴∠CFA=∠BDA,
∵∠FNH=∠DNA,∠DNA+∠NDA=90°,
∴∠CFA+∠FNH=90°,
∴∠FHN=90°,即BD⊥CF;
②连接DF,延长AB交DF于M,
∵四边形ADEF是正方形,AD=3 ,AB=2,
∴AM=DM=3,BM=AM﹣AB=1,
∵△ABC绕点A逆时针旋转45°,
∴∠BAD=45°,
∴AM⊥DF,
∴DB= = ,
∵∠MAD=∠MDA=45°,
∴∠AMD=90°,又∠DHF=90°,∠MDB=∠HDF,
∴△DMB∽△DHF,
∴ = ,即 = ,
解得,DH= .
(2)
解:①由(1)得△CAF≌△BAD,
∴∠CFA=∠BDA,
∵∠FNH=∠DNA,∠DNA+∠NDA=90°,
∴∠CFA+∠FNH=90°,
∴∠FHN=90°,即BD⊥CF;
②连接DF,延长AB交DF于M,
∵四边形ADEF是正方形,AD=3 ,AB=2,
∴AM=DM=3,BM=AM﹣AB=1,
∵△ABC绕点A逆时针旋转45°,
∴∠BAD=45°,
∴AM⊥DF,
∴DB= = ,
∵∠MAD=∠MDA=45°,
∴∠AMD=90°,又∠DHF=90°,∠MDB=∠HDF,
∴△DMB∽△DHF,
∴ = ,即 = ,
解得,DH= .
【解析】(1)根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明△CAF≌△BAD,证明结论;(2)①根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可;
②连接DF,延长AB交DF于M,根据题意和等腰直角三角形的性质求出DM、BM的长,根据勾股定理求出BD的长,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可得到答案.
【题目】“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”,某校举办了首届“中国诗词大会”,经选拔后有50名学生参加决赛,这50名学生同时默写50首古诗词,若每正确默写出一首古诗词得2分,根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表:
组别 | 成绩x分 | 频数(人数) |
第1组 | 50≤x<60 | 6 |
第2组 | 60≤x<70 | 8 |
第3组 | 70≤x<80 | 14 |
第4组 | 80≤x<90 | a |
第5组 | 90≤x<100 | 10 |
请结合图表完成下列各题:
(1)①求表中a的值;②频数分布直方图补充完整;
(2)若测试成绩不低于80分为优秀,则本次测试的优秀率是多少?
(3)第5组10名同学中,有4名男同学,现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习,且4名男同学每组分两人,求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率.