Question

【题目】如图，已知等边△ABC内接于⊙O，点P为上任意一点（点P不与点A、点B重合），连结PB、PO，取BC的中点D，取OP的中点E，连结DE，若∠OED＝α，则∠PBC的度数为_____．（用含α的代数式表示）

Answer 1

【答案】60°+α．

【解析】

根据圆内接等边三角形的性质表示∠EOD的度数，再根据四边形内角和表示出∠BED的度数，进而根据三角形内角和即可求解．

解：如图：连接OD、OB，

∵等边△ABC内接于⊙O，

∴OD⊥BC，OD＝OB，∠OBD＝30°．

∵E点是OP的中点，

∴OE＝OP，

∵OB＝OP，

∴OD＝OE，

∴∠OED＝∠ODE＝α，

∴∠EOD＝180°﹣2α．

因为四边形DOEB内角和为360°，

∴∠BED＝360°﹣90°﹣60°﹣（180﹣2α）﹣α＝30°+α，

∠EOB＝180°﹣30°﹣（30+2α）＝120﹣2α．

∵OB＝OP，

∴∠P＝∠OBP＝（180°﹣∠POB）＝（180﹣120+2α）＝30°+α．

∴∠PBC＝∠OBP+∠OBC＝30°+α+30°＝60°+α．

故答案为60°+α．