Question

用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成如图的菱形ABCD．现把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合．将三角板绕点A逆时针方向旋转．
（1）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（图a），
①猜想BE与CF的数量关系是______；
②证明你猜想的结论．
（2）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（图b），连接EF，判断△AEF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

（1）①BE=CF；
②∵菱形ABCD由等边△ABC和△ACD拼成，
∴AB=AC，∠B=∠CAB=∠ACD=60°，
而∠FAE=60°，
∴∠BAE=60°-∠CAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中
∵

∠B=∠ACF AB=AC ∠BAE=∠CAF

∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF；

（2）△AEF为等边三角形．
理由如下：连EF，
∵菱形ABCD由等边△ABC和△ACD拼成，
∴AC=AD，∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°，
∴∠ACE=120°，∠ADF=120°，
∴∠ACE=∠ADF，
而∠FAE=60°，
∴∠CAE=60°-∠DAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中
∵

∠ACE=∠ADF AC=AD ∠CAE=∠DAF

∴△ACE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴△AEF为等边三角形．