题目内容

已知△BCD中,BC=BD,以BD为直径⊙O的交BC于E,交CD于M.

(1)如图1,求证:
DM
=
EM

(2)如图2,过B作BACD交⊙O于A,若CE=2,CM=
6
,求AE的长.
(1)连接BM,如图1所示,
∵BD为圆O的直径,
∴∠BMD=90°,即BM⊥CD,
∵BD=BC,
∴BM平分∠DBC,即∠DBM=∠CBM,
DM
=
EM


(2)连接AD,EM,DE,如图2所示,
∵BD为圆O的直径,
∴∠DEC=90°,
在Rt△DEC中,CE=2,DC=2CM=2
6

根据勾股定理得:DE=
DC2-CE2
=2
5

∵∠DEC=∠BMC=90°,∠C=∠C,
∵△DEC△BMC,
DE
EC
=
BM
MC
,即BM=
2
5
×
6
2
=
30

∵ABDC,
∴∠BAD=∠ADM=90°,
∵∠BMD=90°,
∴四边形ABMD为矩形,
∴AB=DM,
AB
=
DM

DM
=
EM

AB
=
EM

AB
+
EB
=
EM
+
EB
,即
AE
=
BM

∴AE=BM=
30

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