题目内容

如图,弓形ABC中,∠BAC=60°,BC=2
3
,若点P在优弧BAC上由点B向点C移动,记△PBC的内心为I,点I随点P的移动所经过的路程为m,则m的取值范围为______.
如图,将圆补全,过点O作OD⊥BC交⊙O于点D,设I为△PBC的内心连接BI、连接PD、
连接BO、连接CO、连接BD、连接CD、连接PB、连接PC,
∵DO⊥BC,
∴BD=CD,∠BPD=∠CPD,
∵PBI+∠BPI=∠BID,∠DBC+∠CBI=∠IBD,∠BPD=∠BCD,
∴∠DBI=∠BID,
∴ID=BD,
∵∠BAC=60°,BC=2
3

∴∠BOD=60°,△BDO是等边三角形,
∴BO=
3
sin60°
=2,
∴BD=BO=ID=2,
∴动点I到定点D的距离为2,即点I的轨迹是以点D为圆心,2为半径的弧CIB(不含点C、B),
弧CIB的长为
3

则m的取值范围是0<m<
3

故答案为:0<m<
3

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