Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．

（1）求N的函数表达式；
（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；
（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．

Answer 1

【答案】
（1）

解：二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折得到函数的解析式为y=﹣x2+1，此时顶点坐标（0，1），

将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为（2，9），

故N的函数表达式y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5

（2）

解：∵A（﹣1，0），B（1，0），

∴PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2PO2+2，

∴当PO最大时PA2+PB2最大．如图，延长OC与⊙O交于点P，此时OP最大，

∴OP的最大值=OC+PO= +1，

∴PA2+PB2最大值=2（ +1）2+2=38+4

（3）

解：M与N所围成封闭图形如图所示，

由图象可知，M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25个

【解析】（1）根据二次函数N的图象是由二次函数M翻折、平移得到所以a=﹣1，求出二次函数N的顶点坐标即可解决问题．（2）由PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2PO2+2可知OP最大时，PA2+PB2最大，求出OP的最大值即可解决问题．（3）画出函数图象即可解决问题．本题考查二次函数综合题、最值问题等知识，解题的关键是记住函数图象的平移、翻折变换的规律，学会转化的思想，把问题转化为我们熟悉的问题解决，属于中考压轴题．