题目内容
【题目】如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4 , 给出如下结论:
①S1+S2=S3+S4;②S2+S4=S1+S3;③若S3=2S1 , 则S4=2S2;④若S1=S2 , 则P点在矩形的对角线上.
其中正确的结论的序号是(把所有正确结论的序号都填在横线上).
【答案】②和④
【解析】解:如右图,过点P分别作PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,
∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边,
∴此时两三角形的高的和为AB,即可得出S1+S3= 矩形ABCD面积;
同理可得出S2+S4= 矩形ABCD面积;
∴S2+S4=S1+S3(故②正确);
当点P在矩形的两条对角线的交点时,S1+S2=S3+S4 . 但P是矩形ABCD内的任意一点,所以该等式不一定成立.(故①不一定正确);
③若S3=2S1 , 只能得出△APD与△PBC高度之比,S4不一定等于2S2;(故③错误);
④若S1=S2 , ×PF×AD= PE×AB,
∴△APD与△PBA高度之比为: = ,
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°,
∴四边形AEPF是矩形,
∴此时矩形AEPF与矩形ABCD相似,
∴ = ,
∴P点在矩形的对角线上.(故④选项正确)
所以答案是:②和④.
【考点精析】本题主要考查了矩形的性质的相关知识点,需要掌握矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等才能正确解答此题.
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