题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,边长为 的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,顶点B,A在x,y轴正半轴上运动(x轴的正半轴,y轴的正半轴都不包含原点O)顶点C、D都在第一象限.
(1)如图1,当∠ABO=45°时,求直线OE的解析式,并说明OE平分∠AOB;
(2)当∠ABO≠45°时(如图2所示):OE是否还平分∠AOB仍然成立?若是,请证明;若不是,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵边长为 的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,
∴AE⊥BE,AE=BE,AB= ,∠ABE=45°,
∴由勾股定理得:AE2+BE2=AB2,即2AE2= ,
∴AE=BE=1.
∵∠ABO=45°,
∴∠OBE=∠AEB=∠AOB=90°,
∴四边形AOBE是正方形,
∴OE平分∠AOB,点E的坐标是(1,1).
设直线OE的解析式为:y=kx(k≠0),
则有1=k×1,即k=1,
∴直线OE的解析式为y=x
(2)
解:OE平分∠AOB仍然成立.
证明:过点E做EF、EG分别垂直于y轴和x轴,垂足分别是点F和点G,则四边形EFOG是矩形,如图所示.
∴∠FEG=90°,
∴∠FEA+∠AEG=90°.
又∵∠AEG+∠GEB=90°,
∴∠FEA=∠GEB.
在△FEA和△GEB中, ,
∴△FEA≌△GEB(AAS),
∴FE=GE,
∴矩形EFOG是正方形,
∴OE平分∠AOB.
【解析】(1)根据正方形的性质结合AB= ,∠ABO=45°,可得出点E的坐标以及四边形AOBE是正方形,从而可得出OE平分∠AOB,再由点E的坐标利用待定系数法即可求出直线OE的解析式;(2)过点E做EF、EG分别垂直于y轴和x轴,垂足分别是点F和点G,则四边形EFOG是矩形,根据边角关系可证出△FEA≌△GEB,进而得出FE=GE,由此即可得出矩形EFOG是正方形,再根据正方形的性质即可得出OE平分∠AOB.
