题目内容
(2013年广东梅州10分)如图,已知抛物线y=2x2﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)写出以A,B,C为顶点的三角形面积;
(2)过点E(0,6)且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点(点M在点N的左侧),以MN为一边,抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形,当平行四边形的面积为8时,求出点P的坐标;
(3)过点D(m,0)(其中m>1)且与x轴垂直的直线l2上有一点Q(点Q在第一象限),使得以Q,D,B为顶点的三角形和以B,C,O为顶点的三角形相似,求线段QD的长(用含m的代数式表示).
解:(1)∵y=2x2﹣2,∴当y=0时,2x2﹣2=0,x=±1。
∴点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(1,0),AB=2。
又当x=0时,y=﹣2,∴点C的坐标为(0,﹣2),OC=2。
∴S△ABC=AB•OC=×2×2=2。
(2)将y=6代入y=2x2﹣2,得2x2﹣2=6,x=±2,
∴点M的坐标为(﹣2,6),点N的坐标为(2,6),MN=4。
∵平行四边形的面积为8,∴MN边上的高为:8÷4=2。
∴P点纵坐标为6±2。
①当P点纵坐标为6+2=8时,2x2﹣2=8,x=±。
∴点P的坐标为(,8)或(,8)。
②当P点纵坐标为6﹣2=4时,2x2﹣2=4,x=±,
∴点P的坐标为(,4)或(,4)。
综上所述,当平行四边形的面积为8时,点P的坐标为(,8)或(,8)或(,4)或(,4)。
(3)∵点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,﹣2),∴OB=1,OC=2。
∵∠QDB=∠BOC=90°,
∴以Q,D,B为顶点的三角形和以B,C,O为顶点的三角形相似时,分两种情况:
①OB与BD边是对应边时,△OBC∽△DBQ,则,即,
解得DQ=2(m﹣1)=2m﹣2。
②OB与QD边是对应边时,△OBC∽△DQB,则,即,
解得。
综上所述,线段QD的长为2m﹣2或。
【解析】(1)在二次函数的解析式y=2x2﹣2中,令y=0,求出x=±1,得到AB=2,令x=0时,求出y=﹣2,得到OC=2,然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积。
(2)先将y=6代入y=2x2﹣2,求出x=±2,得到点M与点N的坐标,则MN=4,再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2,则P点纵坐标为8或4.分两种情况讨论:①当P点纵坐标为8时,将y=8代入y=2x2﹣2,求出x的值,得到点P的坐标;②当P点纵坐标为4时,将y=4代入y=2x2﹣2,求出x的值,得到点P的坐标。
(3)由于∠QDB=∠BOC=90°,所以以Q,D,B为顶点的三角形和以B,C,O为顶点的三角形相似时,分两种情况讨论:①OB与BD边是对应边,②OB与QD边是对应边两种情况,根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可。
考点:二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,三角形的面积公式,平行四边形的判定,相似三角形的判定,分类思想的应用。
(2013年广东梅州8分)为建设环境优美、文明和谐的新农村,某村村委会决定在村道两旁种植A,B两种树木,需要购买这两种树苗1000棵.A,B两种树苗的相关信息如表:
|
单价(元/棵) |
成活率 |
植树费(元/棵) |
A |
20 |
90% |
5 |
B |
30 |
95% |
5 |
设购买A种树苗x棵,绿化村道的总费用为y元,解答下列问题:
(1)写出y(元)与x(棵)之间的函数关系式;
(2)若这批树苗种植后成活了925棵,则绿化村道的总费用需要多少元?
(3)若绿化村道的总费用不超过31000元,则最多可购买B种树苗多少棵?