Question

（2013年广东梅州8分）如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB与点E，且CF=AE，

（1）求证：四边形BECF是菱形；

（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）证明：∵EF垂直平分BC，∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD。

又∵∠ACB=90°，∴EF∥AC。∴BE：AB=DB：BC。

∵D为BC中点，∴DB：BC=1：2。∴BE：AB=1：2。∴E为AB中点，即BE=AE。

∵CF=AE，∴CF=BE。

∴CF=FB=BE=CE。∴四边形BECF是菱形。

（2）∵四边形BECF是正方形，∴∠CBA=45°，

∵∠ACB=90°，∴∠A=45°。

【解析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形即可证明。

（2）正方形的性质知，对角线平分一组对角，即∠ABC=45°，进而求出∠A=45°。　

考点：线段垂直平分线的性质，平行的判定和性质，菱形的判定，正方形的性质，直角三角形两锐角的关系。