题目内容
【题目】直角坐标系中，已知A（1，0），以点A为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=﹣
x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．
（1）①填空：⊙A的半径为 ，b= ．（不需写解答过程）
②判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由．
（2）若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求
的值．
（3）若点P在⊙A上，点Q是y轴上一点且在点C下方，当△PQM为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1) 5，7;(2) 相切,理由见解析;(3) Q的坐标是（0，0）或（0，2）或（0，﹣8）或（0，3﹣
）．
【解析】
（1）①连接AM，过M作MQ⊥x轴于Q，求出AQ、QM，根据勾股定理求出AM即可；把M的坐标代入解析式，求出b即可；②求出B、C的坐标，证△AQM和△BQM相似，推出∠MAQ=∠BMQ，推出∠AMB=90°即可；
（2）设EG=a，根据勾股定理求出BC、AC、CM的值，根据△BEG和△BOC相似，求出BE的值，根据△BEG和△AFG相似，求出GF的值，根据BC=BE+EM+CM，代入求出a即可；
（3）有三种情况：①当∠PQM=90°时，MQ=PQ，根据轴对称，得出Q与O重合，即可求出Q的坐标；②当∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，证△MHQ≌△MDP，推出P是圆与x正半轴交点，即可求出答案；③当∠QPM=90°时，分两种情况：第一情况：P在y的左方，设P（m，n），Q（0，b）得出方程①4-m=n-b，②4-n=-m，③（1-m）2+n2=52，解方程组即可求出b；第二情况：P在y的右方，同理能求出b的值．
（1）①解：连接AM，过M作MQ⊥x轴于Q，
则AQ=4﹣1=3，MQ=4，
由勾股定理得：AM=
=5，
把M（4，4）代入y=﹣
x+b得：4=﹣×4+b，
∴b=7，
故答案为：5，7．
②解：相切，
理由是：连接AF，
y=﹣x+7，
当x=0时，y=7，∴C（0，7），OC=7，
当y=0时，0=﹣x+7，
∴x=
，
∴B（，0），OB=，
∴BQ=OB﹣OQ=﹣4=
，AQ=4﹣1=3，MQ=4，
∴
=
=，
=，
∴=，
∵∠MQA=∠MQB，
∴△AMQ∽△MBQ，
∴∠MAQ=∠BMQ，
∵∠MAQ+∠AMQ=90°，
∴∠AMQ+∠BMQ=90°，
∴AM⊥BC，
∴直线BC与⊙A的位置关系是相切．
（2）解：连接AC，
在△COB中，由勾股定理得：BC=
=
，
同理AC=5
，
∵AM=5，由勾股定理得：CM=5，
设EG=a，
∵EF⊥BC，
∴∠FEB=∠COB=90°，
∵∠OBC=∠OBC，
∴△BEG∽△BOC，
∴
，
即
=
，
∴BE=
a，
∴根据切线长定理得：EM=EF=BC﹣BE﹣CM=﹣a﹣5，
∵EF⊥CB，AF⊥EF，
∴AF∥BC，
∴△AFG∽△BEG，
∴
=
，
∴
=
，
∴FG=
，
∵BE+EM+CM=BC，
∴a+a++5=，
a=
，
EG=，FG=，
∴
=
=3．
（3）解：①当∠PQM=90°时，MQ=PQ，由对称性M，P关于X轴对称，
所以Q，O重合，Q（0，0）；
②当∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，
可得△MHQ≌△MDP，
即P是圆与x正半轴交点
从而Q（0，2）；
③当∠QPM=90°时，分两种情况：
第一情况：P在y的左方，如图，
设P（m，n），Q（0，b）可得：
①4﹣m=n﹣b，②4﹣n=﹣m，③（1﹣m）2+n2=52，
解方程组得，b=2，b=﹣8（b=2也符合条件，虽与②中b同，但直角不同），
第二情况：P在y的右方，同理得：
①m﹣4=n﹣b，②4﹣n=m，③（1﹣m）2+n2=52，
解方程组得，b=3+（舍），b=3﹣．
综合上述：Q的坐标是（0，0）或（0，2）或（0，﹣8）或（0，3﹣）．
