题目内容
【题目】在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2
的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．
（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．
（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．
【答案】（1）理由见解析；（2）
；（3）6
【解析】
（1）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得∠AGD＝∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，利用等角的余角相等得到∠DHE＝90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；
（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到DG＝BE，如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD＝∠AMG＝90°，在直角三角形AMD中，求出AM的长，即为DM的长，根据勾股定理求出GM的长，进而确定出DG的长，即为BE的长；
（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△BDH的高最大，即可确定出面积的最大值．
解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，
∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴∠AGD＝∠AEB，
如图所示，延长EB交DG于点H，
在△ADG中，
∵∠AGD+∠ADG＝90°，
∴∠AEB+∠ADG＝90°，
∴∠DHE＝90°，
∴DG⊥BE；
（2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，
∴∠DAB+∠BAG＝∠GAE+∠BAG，即∠DAG＝∠BAE，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴DG＝BE，
如图所示，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD＝∠AMG＝90°，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠MDA＝45°，
在Rt△AMD中，∠MDA＝45°，
∴cos45°＝
，
∵AD＝2，
∴DM＝AM＝
，
在Rt△AMG中，根据勾股定理得：GM＝
，
∵DG＝DM+GM＝+
，
∴BE＝DG＝+；
（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：
对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；
对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，
则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4＝6．
