题目内容
【题目】如图，已知
为
的直径，
为延长线上的动点，过点作的切线
，
为切点， 
为
上的动点，连接
交
于点
．
（1）当平分
时，求证：
；
（2）当是的中点时，求证：
；
（3）当
，且
的周长被平分时，设
，试求
的值．
【答案】（1）45°；（2）详见解析；（3）
【解析】
（1）连接
．根据切线定义可得：
，由角平分线的性质可得：
，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得：
，根据角的和差即可得出结论；
（2）过
作
交
于
．由，得到
，由相似三角形的性质可得：
．根据中点的定义及等量代换即可得出结论；
（3）设
，则
．由余弦的定义求出∠COP=60°，从而得到△OBC为等边三角形，进而求出BC、AC的长，得到△ABC的周长，根据
的周长被平分，表示出CE，BE，AM，由（2）知，，从而求出
．
（1）连接．
切
于
，
，
∴．
∵平分
，
．
，
．
，
，
．
（2）过作交于．
，
，
．
为
的中点，
，
，
（3）设，则．
，
，
，
为等边三角形，
，
．
的周长被平分，
，即
，
，
，
由（2）知，，
，
，
即
，
，即
．
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