题目内容
【题目】如图,AB⊥BC,射线CM⊥BC,且BC=4,AB=1,点P是线段BC(不与点B、C重合)上的动点,过点P作DP⊥AP交射线CM于点D,连结AD.
(1)如图1,若BP=3,求△ABP的周长;
(2)如图2,若DP平分∠ADC,试猜测PB和PC的数量关系,并说明理由;
(3)若△PDC是等腰三角形,作点B关于AP的对称点B′,连结B′D,则B′D=_____.(请直接写出答案)
【答案】(1)+5;(2)PB=PC;(3)5
【解析】
试题(1)根据勾股定理直接求出AP的值就可以求出结论;
(2)延长线段AP、DC交于点E,就可以得出△DPA≌△DPE,就有AP=PE,在证明△APB≌△EPC就可以得出结论;
(3)连接AB′,PB′,作B′E⊥CD于E,就可以得出PB′=CE=1,DE=2,在Rt△B′DE中由勾股定理就可以求出结论.
试题解析:(1)∵AB⊥BC∴∠ABP=90°,
∴AP2=AB2+BP2,
∴AP===,
∴AP+AB+BP=+1+4=+5
∴△APB的周长为+5;
(2)PB=PC,
理由如下:
延长线段AP、DC交于点E
∵DP平分∠ADC,
∴∠ADP=∠EDP.
∵DP⊥AP,
∴∠DPA=∠DPE=Rt∠.
在△DPA和△DPE中
,
∴△DPA≌△DPE(ASA),
∴PA=PE.
∵AB⊥BP,CM⊥CP,
∴∠ABP=∠ECP=Rt∠.
在△APB和△EPC中
,
∴△APB≌△EPC(AAS),
∴PB=PC;
(3)答案为:5.
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