Question

如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，AC与BD相交于点P．
（1）设∠BPC=α，如果sinα是方程5x²-13x+6=0的根，求cosα的值；
（2）在（1）的条件下，求弦CD的长．

Answer 1

分析：（1）利用十字相乘法，求得一元二次方程的根，即sinα的值．进而求得cosα的值．
（2）首先连接BC，利用圆周角定理得到∠B=∠C，∠A=∠D，进而证得△APB∽△DPC．再利用相似三角形的性质定理及（1）中的解，求得弦CD的长．

解答：解：（1）∵sinα是方程5x-13x+6=0的根，
解得：sinα=2（舍去），sinα=

3

5

，（2分）
∴cosα=

4

5

；（1分）

（2）连接BC，
∵∠B=∠C，∠A=∠D，
∴△APB∽△DPC，
∴

CD

AB

=

CP

PB

，（2分）
∵AB为直径，
∴∠BCA为直角，
∵cosα=

4

5

，
∴

CD

AB

=

CP

PB

=

4

5

，
∴CD=8．（3分）

点评：本题考查了解一元一次方程因式分解法、圆周角定理、直角三角形边间的正弦、余弦关系，相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强．