题目内容
如图,在直角坐标平面内,函数y=
(x>0,m是常数)的图象经过A(1,4),B(a,b),其中a>1.过点A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂线,垂足为D,连接AD,DC,CB.
(1)若△ABD的面积为4,求点B的坐标;
(2)求证:DC∥AB;
(3)当AD=BC时,求直线AB的函数解析式.
m |
x |
(1)若△ABD的面积为4,求点B的坐标;
(2)求证:DC∥AB;
(3)当AD=BC时,求直线AB的函数解析式.
(1)∵函数y=
(x>0,m是常数)图象经过A(1,4),
∴m=4.
∴y=
,
设BD,AC交于点E,据题意,可得B点的坐标为(a,
),D点的坐标为(0,
),E点的坐标为(1,
),
∵a>1,
∴DB=a,AE=4-
.
由△ABD的面积为4,即
a(4-
)=4,
得a=3,
∴点B的坐标为(3,
);
(2)证明:据题意,点C的坐标为(1,0),DE=1,
∵a>1,
易得EC=
,BE=a-1,
∴
=
=a-1,
=
=a-1.
∴
=
且∠AEB=∠CED,
∴△AEB∽△CED,
∴∠ABE=∠CDE,
∴DC∥AB;
(3)∵DC∥AB,
∴当AD=BC时,有两种情况:
①当AD∥BC时,四边形ADCB是平行四边形,由(2)得,
=
=a-1,
∴a-1=1,得a=2.
∴点B的坐标是(2,2).
设直线AB的函数解析式为y=kx+b,把点A,B的坐标代入,
得
,
解得
.
故直线AB的函数解析式是y=-2x+6.
②当AD与BC所在直线不平行时,四边形ADCB是等腰梯形,则BD=AC,
∴a=4,
∴点B的坐标是(4,1).
设直线AB的函数解析式为y=kx+b,把点A,B的坐标代入,
得
,
解得
,
故直线AB的函数解析式是y=-x+5.
综上所述,所求直线AB的函数解析式是y=-2x+6或y=-x+5.
m |
x |
∴m=4.
∴y=
4 |
x |
设BD,AC交于点E,据题意,可得B点的坐标为(a,
4 |
a |
4 |
a |
4 |
a |
∵a>1,
∴DB=a,AE=4-
4 |
a |
由△ABD的面积为4,即
1 |
2 |
4 |
a |
得a=3,
∴点B的坐标为(3,
4 |
3 |
(2)证明:据题意,点C的坐标为(1,0),DE=1,
∵a>1,
易得EC=
4 |
a |
∴
BE |
DE |
a-1 |
1 |
AE |
CE |
4-
| ||
|
∴
BE |
DE |
AE |
CE |
∴△AEB∽△CED,
∴∠ABE=∠CDE,
∴DC∥AB;
(3)∵DC∥AB,
∴当AD=BC时,有两种情况:
①当AD∥BC时,四边形ADCB是平行四边形,由(2)得,
BE |
DE |
AE |
CE |
∴a-1=1,得a=2.
∴点B的坐标是(2,2).
设直线AB的函数解析式为y=kx+b,把点A,B的坐标代入,
得
|
解得
|
故直线AB的函数解析式是y=-2x+6.
②当AD与BC所在直线不平行时,四边形ADCB是等腰梯形,则BD=AC,
∴a=4,
∴点B的坐标是(4,1).
设直线AB的函数解析式为y=kx+b,把点A,B的坐标代入,
得
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解得
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故直线AB的函数解析式是y=-x+5.
综上所述,所求直线AB的函数解析式是y=-2x+6或y=-x+5.
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