题目内容
【题目】如图1,直角坐标系中有一矩形OABC,其中O是坐标原点,点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(3,4),直线交AB于点D,点P是直线位于第一象限上的一点,连接PA,以PA为半径作⊙P,
(1)连接AC,当点P落在AC上时, 求PA的长;
(2)当⊙P经过点O时,求证:△PAD是等腰三角形;
(3)设点P的横坐标为m,
①在点P移动的过程中,当⊙P与矩形OABC某一边的交点恰为该边的中点时,求所有满足要求的m值;
②如图2,记⊙P与直线的两个交点分别为E,F(点E在点P左下方),当DE,DF满足时,求m的取值范围.(请直接写出答案)
【答案】(1);(2)△PAD是等腰三角形,证明见解析;(3)①, ,2或;②
【解析】试题分析:(1)通过证明△OPC∽△ADP即可求解;
(2)由OP=AP得∠POA=∠PAO,可证∠PDA=∠DAP,故可得△PAD是等腰三角形 ;
(3)分4种情况进行讨论即可求解.
试题解析:(1)∵B(3,4)
∴BC=3,AB=4
∵∠B=90°
∴AC=5 ,
∵OC∥AB,
∴△OPC∽△ADP
∴,即
∴
(2)∵⊙P经过点O
∴OP=AP
∴∠POA=∠PAO,
∵∠PDA+∠POA=∠DAP+∠PAO,
∴∠PDA=∠DAP
∴△PAD是等腰三角形
(3)①分4种情形讨论
ⅰ)交点M是OC中点,PM=PA
则,
ⅱ)交点M是OA中点,PM=PA
∴MG=GA=
∴
ⅲ)交点M是AB中点,PM=PA
∴PG=AM=1
∴PH=2DH=2×=1
∴
ⅳ)交点M是BC中点,PM=PA
则,
②
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