题目内容

【题目】如图:AD与⊙O相切于点D,AF经过圆心与圆交于点E、F,连接DE、DF,且EF=6,AD=4.

(1)证明:AD2=AEAF;

(2)延长AD到点B,使DB=AD,直径EF上有一动点C,连接CB交DF于点G,连接EG,设∠ACB=α,BG=x,EG=y.

①当α=900时,探索EG与BD的大小关系?并说明理由;

②当α=1200时,求y与x的关系式,并用x的代数式表示y.

【答案】(1)证明见解析;(2)①当α=90°时,EG>BD,理由见解析;②当α=120°时,y=

【解析】试题分析:(1)连接OD,由AD是⊙O的切线,根据切线的性质可得ODAD,即∠ADE+EDO=90°,再由EF是直径,根据圆周角定理的推论可得∠EDF=90°,即∠EDO+ODF=90°,即可得∠ADE=ODF,再由OD=OF,根据等腰三角形的性质可得∠ODF=OFD,所以∠ADE=OFD,即可判定ADE∽△AFD,根据相似三角形的性质可得 ,即AD2=AEAF;(2①当α=90°时,EGBD,理由如下:取EG的中点H,连接CHDHCD,在RtEDGRtECG中,点HEG的中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CH=EH=GH=DH= EG,根据圆的定义即可判定点CEDG在以点H为圆心,EG为直径的圆上,根据直径是圆中最长的弦可得EGCD,在RtABC中,DB=AD,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD= DB=AD=AB,即可得结论EGBD②当α=120°时,将ADE绕着点D旋转180°,得到BDP,连接GP,由(1AD2=AEAF可得16=AE(AE+6),解得AE=2AE=8(舍去),因ADE≌△BDP,根据全等三角形的性质可得ED=DPAE=BP=2A=DBP,再由∠EDF=90°可得DG垂直平分EP,根据线段垂直平分线的性质可得GE=GP=y,因∠A+ABC=180°120°=60°所以∠DBP+ABC=60°,即∠GBP=60°过点PPQBGRtBPQ中,∠GBP=60°BP=2,可求得BQ=1PQ= ,所以GQ=BGBQ=x1RtGPQ, PQ=GQ=x1GP=y,由勾股定理可得PG2=GQ2+PQ2y2=(x-1) 2+( ) 2 ,整理即可得y= .

试题解析:

1证明:连接OD

AD是⊙O的切线

ODAD,即∠ADE+EDO=90°

EF是直径

∴∠EDF=90°,即∠EDO+ODF=90°

∴∠ADE=ODF

OD=OF

∴∠ODF=OFD

∴∠ADE=OFD

∴△ADE∽△AFD

,即

2①当时,EGBD

理由如下:取EG的中点H,连接CHDHCD,

RtEDGRtECG,HEG的中点

CH=EH=GH=DH=

∴点CEDG在以点H为圆心,EG为直径的圆上

EGCD

RtABC, DB=AD

CD= DB=AD=

EGBD

②当

ADE绕着点D旋转180°,得到BDP,连接GP

由(1得: ,解得AE=2AE=8(舍去)

∴△ADE≌△BDP

ED=DPAE=BP=2A=DBP

∵∠EDF=90°

DG垂直平分EP

GE=GP=

∵∠A+ABC=180°120°=60°

∴∠DBP+ABC=60°,即∠GBP=60°

过点PPQBG

RtBPQ中,∠GBP=60°BP=2

BQ=1PQ=

GQ=BGBQ= 1

RtGPQ, PQ=GQ= 1GP=

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