题目内容
【题目】如图，在
中，
，
，
．点
在边
的延长线上，且
．在
上方作射线
，使
．点
从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿射线方向运动．过点作
，垂足为
，过点作
，垂足为，交线段
或线段
于点
，当点与点
重合时，点停止运动．设点的运动时间为
秒．
（1）线段
的长为______．（用含的代数式表示）
（2）当点与点
重合时，求的值．
（3）设
的面积为
，求与之间的函数关系式．
（4）当点在的某一条边的中垂线上时，直接写出的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
或
或
【解析】
（1）证明△PRD∽△BCA，利用相似三角形的性质即可解决问题．
（2）如图2中，当D与点C重合时，证明△CPR∽△PDR，可得PR2＝CRDR，由此构建方程即可解决问题．
（3）分两种情形①当0＜t≤3时，如图3中，
；②当
时，如图32中，S＝
，综合即可；
（4）分三种情形：①如图41中，当点P在线段AB的垂直平分线上时，设AB的垂直平分线交AB于N，交BC于M．②如图42中，当点P在线段BC的垂直平分线上时，③如图43中，当点P在线段AC的垂直平分线上时，分别构建方程即可解决问题．
（1）解：（1）如图1中，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝
，
∵PR⊥CD，
∴∠PRD＝∠C＝90°，
∵∠PDR＝∠A，
∴△PRD∽△BCA，
∴
，
∵PD=t，
∴
，
∴PR＝
，DR＝
，
故答案为：；
（2）如图2中，当Q与点C重合时，
∵PQ⊥PD，PR⊥CD，
∴∠QPD＝∠PRQ＝∠PRD＝90°，
∵∠PCR＋∠CPR＝90°，∠CPR＋∠DPR＝90°，
∴∠DPR＝∠PCR，
∴△CPR∽△PDR，
∴
∴PR2＝CRDR，
由（1）可知PR＝，DR＝，
∵BD=1，
∴CD=5，CR=5，
∴（）2＝（5），
解得t＝3．
∴t＝3s时，C，Q重合．
（3）①当
时，如图3中，由（2）可知，△QPR∽△PDR，
则
，
∵PR＝，DR＝，
∴
．
②如图3-1所示，当点Q与点A重合时，点P停止运动，过点A作AM∥CD∠PD于点M，交PR于点N，则PR⊥AM，四边形ANRC为矩形，∠PMA=∠PDC=∠CAB，
∵AP⊥PD，∠C=90°，
∴∠PAM=∠ABC，
∵PR＝，DR＝，
∴PN=PR-NR=PR-AC=-4，
AN=CR=CD-DR=5-，
∴tan∠PAN=tan∠ABC=
，
即
，解得：
，
∴当时，点P停止运动，
∴当时，如图3-2中，
∵PR＝，DR＝，
∴CR=
，
∴．
综上所述：；
（4）①如图41中，当点P在线段AB的垂直平分线上时，设AB的垂直平分线交AB于N，交BC于M．
∵PM⊥平分AB，则BN=
∴
，
∴BM＝
BN＝
，
∵∠MNB=∠C=90°，
则∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠BMN=90°，
∴∠BMN=∠A=∠PDC，
∴PM＝PD，
∴DM＝BM＋BD＝
，
∵PR⊥DM，
∴DR＝
DM＝
，
∴
，
∴t＝
．
②如图42中，当点P在线段BC的垂直平分线上时，
则BR=CR=2，
∴DR＝3，即
，解得t＝5．
③如图43中，当点P在线段AC的垂直平分线上时，PR＝CM＝
，
即
，解得t＝
．
综上所述，满足条件的t的值为或或．
