Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．

（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；
（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线l与⊙O相切．

理由：如图1所示：连接OE、OB、OC．

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE．

∴ ．

∴∠BOE=∠COE．

又∵OB=OC，

∴OE⊥BC．

∵l∥BC，

∴OE⊥l．

∴直线l与⊙O相切．

（2）解：∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF．

又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，

∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．

又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，

∴∠EBF=∠EFB．

∴BE=EF．

（3）解：由（2）得BE=EF=DE+DF=7．

∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，

∴△BED∽△AEB．

∴ ，即 ，解得；AE= ．

∴AF=AE﹣EF= ﹣7=

【解析】（1）由AE平分∠BAC，得到∠BAE=∠CAE，弧BE=弧CE，得到∠BOE=∠COE，又OB=OC，得到OE⊥BC因为l∥BC，得到OE⊥l，所以直线l与⊙O相切；（2）由BF平分∠ABC，得到∠ABF=∠CBF，又∠CBE=∠CAE=∠BAE，得到∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF，又∠EFB=∠BAE+∠ABF，得到∠EBF=∠EFB．所以BE=EF；（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7，因为∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，得到△BED∽△AEB，得出比例，求得AE=，所以AF=AE﹣EF=﹣7=.