Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）

Answer 1

分析：（1）当∠BPC=∠A时，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此时三角形APB与三角形DPC相似，那么可得出关于AP，PD，AB，CD的比例关系式，AB，CD的值题中已经告诉，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例关系式中求出AP的长．
（2）①与（1）的方法类似，只不过把DC换成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了．然后按得出的关于AB，AP，PD，DQ的比例关系式，得出x，y的函数关系式．
②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根据CE的长，用AP表示出PD，然后根据PD，DQ，QC，CE的比例关系用AP表示出DQ，然后按①的步骤进行求解即可．

解答：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC
∴

AP

CD

=

AB

PD

，即：

AP

2

=

2

5-AP

解得：AP=1或AP=4．

（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ
∴

AP

DQ

=

AB

PD

，即：

x

2+y

=

2

5-x

，
∴y=-

1

2

x2+

5

2

x-2（1＜x＜4）．  
②当CE=1时，
∵△PDQ∽△ECQ，
∴

CE

PD

=

CQ

DQ

，

1

5-x

=

y

y+2

或

1

5+x

=

y

y-2

，
∵y=-

1

2

x2+

5

2

x-2，
解得：AP=2或3-

5

（舍去）．

点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关系是求解的关键．