Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC=_______.

Answer 1

【答案】108°

【解析】

连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

如图，连接OB，OC.

∵ ∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，

∴

又∵ AB=AC，

∴ .

∵ DO是AB的垂直平分线，

∴ OA=OB，

∴ ∠ABO=∠BAO=27°，

∴ ∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°.

∵ DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，

∴ 点O是△ABC的外心，

∴ OB=OC，

∴ ∠OCB=∠OBC=36°，

∵ 将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，

∴ OE=CE，

∴ ∠COE=∠OCB=36°.

在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，故答案为：108度.