Question

如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G.
(1)求证：△APB≌△APD；
(2)已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.
①求y与x的函数关系式；
②当x＝6时，求线段FG的长.

Answer 1

(1)证明见解析；（1）；5.

解析试题分析：（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；
（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出，，进而得出，即，即可得出答案；
②根据①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出，求出即可．
试题解析：（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，
∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
∵在△APB和△APD中
，
∴△APB≌△APD（SAS）；
（2）解：①∵△APB≌△APD，
∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，
∵在△DFP和△BEP中，
，
∴△DFP≌△BEP（ASA），
∴PF=PE，DF=BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴GD∥AB，
∴，
∵DF：FA=1：2，
∴，，
∴，
∴，即，
∴；
②当x=6时，，
∴PF=PE=4，DP=PB=6，
∵，
∴，
解得：FG=5，
故线段FG的长为5．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的性质．