题目内容
(2012•北京二模)如图,已知点M(-
,2)和抛物线y=
x2,O为直角坐标系的原点.
(1)若直线y=kx+3经过点M,且与x轴交于点A,求∠MAO的度数;
(2)在(1)的条件下,将图中的抛物线向右平移,设平移后的抛物线与y轴交于点E,与直线AM的一个交点记作F,当EF∥x轴时,求抛物线的顶点坐标.
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(1)若直线y=kx+3经过点M,且与x轴交于点A,求∠MAO的度数;
(2)在(1)的条件下,将图中的抛物线向右平移,设平移后的抛物线与y轴交于点E,与直线AM的一个交点记作F,当EF∥x轴时,求抛物线的顶点坐标.
分析:(1)把点M的坐标代入直线y=kx+3计算求出k值,从而得到直线解析式,然后求出与x轴的交点坐标,过M作MN⊥x轴于点N,求出AN、MN的长度,再根据∠MAN的正切值求解即可;
(2)设平移后的抛物线顶点为P(h,0),令x=0求出点E的坐标,再根据EF∥x轴得到点F的纵坐标,然后代入抛物线解析式计算求出h的值,即可得解.
(2)设平移后的抛物线顶点为P(h,0),令x=0求出点E的坐标,再根据EF∥x轴得到点F的纵坐标,然后代入抛物线解析式计算求出h的值,即可得解.
解答:解:(1)把点M(-
,2)代入y=kx+3,
得-
k+3=2,即k=
,
则直线AM是y=
x+3,
由
x+3=0,得x=-3
,
即点A(-3
,0),
过点M作MN⊥x轴于N,
在Rt△MAN中,则AN=2
,MN=2,
则tan∠MAN=
,
则∠MAO=∠MAN=30°;
(2)设平移后的抛物线顶点为P(h,0),其中h>0,
则解析式变为y=
(x-h)2,
令x=0,得y=
h2,
所以,点E(0,
h2),
∵点F在平移后的抛物线上,且EF∥x轴,
∴点F(2h,
h2),
∵点F还在直线y=
x+3上,
∴
h2=
h+3,
整理得,h2-2
h-9=0,
解得,h1=3
,h2=-
(舍去),
故所求抛物线的顶点坐标是(3
,0).
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得-
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则直线AM是y=
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由
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即点A(-3
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过点M作MN⊥x轴于N,
在Rt△MAN中,则AN=2
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则tan∠MAN=
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则∠MAO=∠MAN=30°;
(2)设平移后的抛物线顶点为P(h,0),其中h>0,
则解析式变为y=
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令x=0,得y=
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所以,点E(0,
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∵点F在平移后的抛物线上,且EF∥x轴,
∴点F(2h,
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∵点F还在直线y=
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∴
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2
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整理得,h2-2
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解得,h1=3
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故所求抛物线的顶点坐标是(3
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点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求一次函数解析式,特殊角的三角函数,二次函数图象的几何变化,(2)利用顶点式形式表示出二次函数解析式是解题的关键.
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