题目内容
【题目】阅读理解:对于任意正实数a、b,∵≥0, ∴≥0,
∴≥,只有当a=b时,等号成立.
结论:在≥(a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则a+b≥,只有当a=b时,a+b有最小值.
根据上述内容,填空:若m>0,只有当m= 时,有最小值,最小值为 .
探索应用:如图,已知,,为双曲线(x>0)上的任意一点,过点作⊥x轴于点,⊥y轴于点D.求四边形面积的最小值,并说明此时四边形的形状.
【答案】2,2,四边形面积的最小值为12,四边形ABCD是菱形.
【解析】
应用上述结论,直接代入即可求出的最小值;首先设P的坐标为:(x,),由S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD,可得S四边形ABCD=(x++4),继而求得答案.
解:∵a+b≥(a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则a+b≥,只有当a=b时,a+b有最小值.
∴≥,
∴≥2,
当m=时,
解得:m=2或-2(不合题意舍去),
故当m=2,最小值是2;
设P的坐标为:(x,),
∵A(-2,0),B(0,-3),
则BD=3+,OA=2,OC=x,
则S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=2(3+)+x(3+)==(x++4)≥×(2+4)=12,
∴当且仅当x=,即x=2时,四边形ABCD面积有最小值,最小值是12;
∴点P的坐标为:(2,3),
∴OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.
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