题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，2），直线l的解析式为y=kx+5-4k（k＞0）．
（1）当直线l经过点B时，求一次函数的解析式；
（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点D；
（3）直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点，且△NBD为等腰三角形，试探究：当函数y=kx+5-4k为正比例函数时，点N的个数有______个．
【答案】（1）y=
x+2；（2）详见解析；（3）2.
【解析】
（1）将点B坐标代入解析式可求解；
（2）由题意可得点D（4，5），由y=kx+5-4k=k（x-4）+5可知，当x-4=0时，不论k为何值，直线l总经过点（4，5），即可得结论；
（3）由题意可求k=
，即可求点O与点M重合，等腰三角形的性质可求点N的个数．
解：（1）∵直线l经过点B（0，2）、
∴2=5-4k
∴k=
∴一次函数解析式为：y=x+2
（2）∵A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，2），
∴点D（4，5）
∵y=kx+5-4k=k（x-4）+5
∴当x=4时，y=5，
∴不论k为何值，直线l总经过点（4，5）
即不论k为何值，直线l总经过点D；
（3）∵函数y=kx+5-4k为正比例函数
∴5-4k=0
∴k=
∴函数解析式为：y=x
∴点M与点O重合，如图，即BM=2
∵△NBD为等腰三角形，
∴作BD的垂直平分线交DO于点N，或以点D为圆心，BD为半径作圆，交线段DO于点N
∴点N的个数为2．
故答案为：2
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